로또의 기댓값

======== [로또 당청금 분배룰:세금은 당첨금 외적인 요소이므로 기대값 계산에서 제외하겠습니다==================

1위: 6개 번호 일치 　　　　　　　　      P1 = 1 / 8145060        총 당첨금 중 4등과 5등 금액을 제외한 금액의 75% 

2위: 5개 번호 일치 + 보너스 번호일치　  P2 = 6 / 8145060         총 당첨금 중 4등과 5등 금액을 제외한 금액의 12.5% 

3위: 5개 번호 일치 　　　　　　　　　　P3 = 228 / 8145060　　총 당첨금 중 4등과 5등 금액을 제외한 금액의 12.5% 

4위: 4개 번호 일치 　　　　　　　　　　P4= 11115/ 8145060　　50000원 

5위: 3개 번호 일치 　　　　　　　　　　P5= 182780 / 8145060　 5000원

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로또 한장의 기대값을 계산하기 위해선 통계적 접근법이 필요합니다. 그러기 위해선 우선 로또 한게임을 하나의 입자로

취급 합시다. 이 로또 입자는 8145060 가지의 상태 중 하나의 상태가 될 것입니다.

 

상태1 : (1,2,3,4,5,6) 조합

상태2:  (1,2,3,4,5,7) 조합

.

.

.

상태8145060  : (40 41 42 43 44 45) 조합

 

이렇게 개별 로또입자는 8145060 가지의 상태중 로또 구입자의 의지에 의해 하나의 상태로 결정되겠죠.

그리고 중복 게임이 허용되므로 상태1에 들어올 수 있는 로또 입자수는 제한이 없습니다. (1,2,3,4,5,6) 의 조합으로 100장

을 사든, 1000 장을 사든 상관없다는 것이죠. 이런 특성은 물리학의 보존(boson) 입자에 비유될 수 있겠습니다. 그리하여

보즈-아인슈타인 통계를 이용하여 로또의 기대값을 계산해 볼 수 있겠습니다.

 

로또 기대값은 판매량(=로또입자수)과 로또 입자상태 점유분포(상태1에 몇개의 입자가 있나?상태2에 몇개의 입자가 있

나?...) 에 따라 달라집니다. 그리하여 로또 판매개시전(로또입자상태점유분포 결정전)과 판매완료후(로또입자상태점유분

포 결정후)의 기대값 계산은 틀려집니다.

 

나 혼자 모든 로또 번호를 한게임씩 샀다고 가정하는 것은 8145060 가지의 상태 각각에 로또입자1개씩 들어가 있는 상황이죠.

이런 특별한 경우의 기대값은 다음과 같이 계산됩니다.

 

Total 8145060 개

1등:1개

2등:6개

3등:6C5*38=228개, 

4등:6C4*39*38/2!=11115개

5등:6C5*39*38*37/3!=182780 개

 

총당첨금(T) = 8145060*500 원

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1등 총당첨금(M1) = (T-M4-M5)*0.75       

2등 총당첨금(M2) = (T-M4-M5)*0.125

3등 총당첨금(M3) = (T-M4-M5)*0.125

4등 총당첨금(M4) = 11115*50000 원

5등 총당첨금(M5) = 182780*5000원

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<나 혼자 모든 로또 번호를 한게임씩 샀다고 가정한 경우>

로또 1장의 기대값 = (M1/1)*P1 +  (M2/6)*P2 +  (M3/228)*P3 +  (M4/11115)*P4 +  (M5/182780)*P5 =  500 원

 

밝히리님 계산법이 맞습니다.

 

보다 일반적인 분포에서의 로또1장의 기대값 계산은 보즈-아인슈타인 통계를  응용해 보시기 바랍니다.